ガンマ函数絡みの公式を証明してたら途中計算で詰んだ

最近はもっぱらガンマ函数と戯れています、ゼファーです( 'ω')
ガンマ函数ってこいつね↓
$\Gamma (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1}\mathrm{e}^{t} \mathrm{d}t.$

さて、以下のGaussの乗法公式を示そうと苦節1日頑張ってまいりました:
$\Gamma (mx) = \frac{m^{mx-1/2}}{(2\pi)^{(k-1)/2}}\prod_{k=0}^{m-1}\Gamma\left( x+\frac{k}{m} \right).$

一般的にStirlingの公式
$\Gamma (x+1) \sim \sqrt{2\pi x}\left( \frac{x}{\mathrm{e}} \right)^x$
つまり
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\Gamma (x+1)}{\sqrt{2\pi x}\left(x/\mathrm{e}\right)^x} = 1$
を用いて示すことが多いのですが、これを用いないで証明してみようと(無謀にも)考えて、いろいろ調べつつ証明(しようと)してみました。

方針としてはGaussの乗法公式の右辺にある
$\prod_{k=0}^{m-1}\Gamma\left( x+\frac{k}{m} \right)$
をGaussの乗積表示
$\Gamma (x) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n! n^x}{\prod_{m=0}^{n}(x+m)}$
によりゴリゴリ計算して導くというものです。