途中計算がうまくいって嬉しみしか感じない

いただきました(問題が解決したときのキメ台詞的なノリの発言)

昨日のこれ↓です
$\prod_{k=1}^{m-1} 2\sin \frac{k\pi}{m}.$

もしかして同じ苦しみを背負って背負いすぎて悲しみがBose-Einstein凝縮してる人いないかとおもって調べてみました。※Bose-Einsteinは凝縮を導く序詞

…いるんですねぇ( 'ω')

せっかくなので以下に計算方法をまとめてみることにしました。よかったら参考までに。

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求める式を $P$ とおきましょう。とりあえずは $P$ をゴリゴリいじっていきます。
Eulerの関係式 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=\cos x + \mathrm{i} \sin x$ から $\sin x = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}$ が分かるので、これを用いましょう。

$P=\prod_{k=1}^{m-1} 2\sin \frac{k\pi}{m} = \prod_{k=1}^{m-1} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{k\pi}{m}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{k\pi}{m}}}{\mathrm{i}}= \prod_{k=1}^{m-1} \mathrm{i}^{-1} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{k\pi}{m}} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{m}}-1\right).$

このように変形できます。
さて、総乗記号 $\prod_{k=1}^{m-1}$ については、定義から「整数 $k$ を $1$ から $m-1$ まで変化させた項を全部掛ける」という計算を行うことを示すので、

$P = \mathrm{i}^{-(m-1)} \exp\left( -\mathrm{i}\frac{\pi}{m} \sum_{k=1}^{m-1} k \right) \prod_{k=1}^{m-1} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{m}}-1\right) = \mathrm{i}^{1-m} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}(1-m)} \prod_{k=1}^{m-1} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{m}}-1\right)$
$= \mathrm{i}^{2(1-m)} \prod_{k=1}^{m-1} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{m}}-1\right) = (-1)^{1-m} \prod_{k=1}^{m-1} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{m}}-1\right)$

と変形できます。2行目に移るときの式変形でもEulerの関係式を利用しています。既にごちゃごちゃしてきて悲しみが溢れてきましたね
さて、再び総乗記号の意味合いを思い出してみると、

$(-1)^{1-m} \prod_{k=1}^{m-1} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{m}}-1\right) = \prod_{k=1}^{m-1}\left(-\left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{m}}-1\right)\right) = \prod_{k=1}^{m-1} \left( 1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{m}}\right)$

と $-1$ を中に入れてあげても良いことが分かると思います。「お前だけ総乗記号の外側出とけ」とか言わないで、どうか仲間にいれてあげてください。
$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{m}}$ が $1$ の $m$ 乗根(以下では $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{m}} =: \xi$ と書きます)になっていることに注意しましょう。各 $k$ に対して, $\xi^{k}$ はすべて $1$ の $m$ 乗根ですね。
ということで、