ガンマ函数絡みの公式を証明してたら途中計算で詰んだ
最近はもっぱらガンマ函数と戯れています、ゼファーです( 'ω')
ガンマ函数ってこいつね↓
さて、以下のGaussの乗法公式を示そうと苦節1日頑張ってまいりました:
一般的にStirlingの公式
つまり
を用いて示すことが多いのですが、これを用いないで証明してみようと(無謀にも)考えて、いろいろ調べつつ証明(しようと)してみました。
方針としてはGaussの乗法公式の右辺にある
をGaussの乗積表示
によりゴリゴリ計算して導くというものです。
さて、そうしてゴリゴリと計算を進めていくと、次のような数式とエンカウントいたしました:
…むむっ
…むむむっ
…むむむむむっ!?
…これどうやって計算するんや…(´<●>ω<●>) \デデーン/
詰みました…でも計算結果は(もともとの公式から)分かっていて、になるということです。示せないけど
積の順序を変えてうまいこと組み合わせたらどうや、とかEulerの公式で指数函数に持っていったらどうや、とかTaylor展開して考えたらどうやとか、もしかしたら数学的帰納法で示せないかとか、ここでまさかの背理法なんかとか、考えてみたんですがどうもうまくいかない。困りましたねぇ…